Calendrier Mathématique Janvier 2020

Solutions 2020 - Homepage

Mercredi 1 Janvier

La montre du passant indique 10h12 (« dans 20 minutes il sera 10h32 »).

En réalité il est 10h07 (« elle avance de 5 minutes »).

Il y a 10 minutes, il était 9h57.

réponse: 9h57

Jeudi 2 Janvier

Pour a ∈ [1, 9] et b ∈ [0, 9], il faut que:

• 1.75 × (a × 10 + b) = b × 10 + a
• (17.5 - 1)) a = (10 - 1.75) b
• 16.5 a = 8.25 b
• 2 a = b

Donc a peut prendre comme valeur 1,2,3,4 et b vaudra respectivement 2,4,6,8.

En Python:

list(a * 10 + b for a in range(1, 10) for b in range(10) if (a * 10 + b) * 1.75 == (b * 10 + a))

réponse: 12 24 36 48

Vendredi 3 Janvier

On remplit progressivement le tableau (7, 9, 13, etc.).

         46
      24    22
   11    13     9
 4     7     6     3

réponse: 46

Lundi 6 Janvier

L’empilement 1 a quatre cubes, il y en a donc un caché derrière et chaque cube pèse 50 g.

L’empilement 2 doit avoir quatorze cubes pour peser 700 g. On en voit onze, il en manque donc trois.

réponse: 4 ⚠️

⚠️ Le livret des solutions dit 3. Mais il y a un cube caché derrière l’empilement 1 !

Mardi 7 Janvier

n² + 5n + 2 = (n² + 1) + (5n + 1)

Ainsi, si n² + 1 divise n² + 5n + 2, alors n² + 1 doit également diviser 5n + 1.

Ce qui implique notamment: n² + 1 ≤ 5n + 1 soit n ≤ 5

• n = 1 : n² + 1 = 2 divise n² + 5n + 2 = 8 ✅
• n = 2 : 5 ne divise pas 16 ❌
• n = 3 : 10 ne divise pas 26 ❌
• n = 4 : 17 ne divise pas 38 ❌
• n = 5 : 26 divise 52 ✅

réponse: 1 et 5

Mercredi 8 Janvier

Pour rentabiliser l’abonnement, il faut que l’économie par cours (7.50€) soit couverte par les 42€.

42 / 7.50 = 5.6

Donc au minimum six cours.

réponse: six

Jeudi 9 Janvier

On va calculer la partie bleue du triangle rectangle ci-dessus. L’aire recherchée sera 4 fois cette valeur.

Hypothénuse: √(1² + 3²) = √10

Aire triangle complet:

• côté × côté / 2 : 1 × 3 / 2 = 3 / 2
• hypothénuse × hauteur / 2 = √10 × h / 2 = 3 / 2

Donc la hauteur (et un des côtés du triangle bleu) est h = 3 / √10

On calcule l’autre côté du triangle bleu: a = √(3² - h²) = √(9 - 9 / 10) = 9 / √10

D’où l’aire du triangle bleu: 9 / √10 × 3 / √10 / 2 = 27 / 20. L’aire colorée est 27 / 20 × 4 = 27 / 5

L’aire du carré étant 3 × 3 = 9, le pourcentage coloré est:

27 / 5 / 9 × 100 = 3 / 5 × 100 = 60%

réponse: 60%

Vendredi 10 Janvier

• soir 1: Anna 20 pages
• soir 2 à 11 (200 pages à lire): Anna 7 pages, Emma 7 pages, Léa 6 pages
• soir 12 (il reste 11 pages à lire): Anna 4, Emma 4, Léa 3

Anna a lu: 20 + 7 × 10 + 4 = 91 pages

réponse: 91

Lundi 13 Janvier

La suite est constituée de nombres impairs. Soit S le nombre d’élements:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = ((n + 1) / 2)²

On cherche la première valeur de n telle que S ≥ 100. Résolvons l’inéquation:

((n + 1) / 2)² ≥ 100

(n + 1) / 2 ≥ 10

n ≥ 10 × 2 - 1 = 19

Vérification en Python:

n = 0
i = 1
while n < 100:
    for _ in range(i):
        n += 1
        if n == 100:
            print(i)
            break
    i += 2

réponse: 19

Mardi 14 Janvier

Le triangle MNC représente la moitié d’un quart de rectangle, soit 1 / 8. La surface coloriée est donc 7 / 8 = 87.5%.

réponse: 87.5%

Mercredi 15 Janvier

Pour la première case, on a le choix entre trois couleurs. Pour les cases suivantes, on le choix entre deux couleurs. Soit:

3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48

réponse: 48

Jeudi 16 Janvier

Soit ab l’âge de Victor. On a: ababab = ab × 10101.

Or, 10101 = 3 × 7 × 13 × 37

La femme a 37 ans, les filles 13, 7, 3, 1. Victor peut avoir 33, 44, 55, etc.

réponse: 13 ans

Vendredi 17 Janvier

Pour que p + q + r soit pair, il faut qu’un des nombres premiers soit pair, c’est-à-dire 2 le seul premier pair. Notons r ce nombre (p q r ont des rôles similaires dans l’équation).

pqr - 2(pq + qr + rp) + 4(p + q + r) = 2pq - 2(pq + 2p + 2q) + 4(p + q + 2) = 2pq - 2pq - 4p - 4q + 4p + 4q + 8 = 8

réponse: 8

Lundi 20 Janvier

joueur	déclaration	but kylian	but antoine	but eden	but leo
kylian	antoine but	M	V	M	M
antoine	eden but	M	M	V	M
eden	antoine ment	V	V	M	V
leo	leo pas but	V	V	V	M

réponse: Leo

Mardi 21 Janvier

Il y a un nombre qui est compté deux fois: essayons de l’identifier.

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 8 * 9 / 2 - 1 = 35

Pour que la somme des deux lignes soit 21 + 21 = 42, il faut compter deux fois le 7.

Une réponse est:

• 7 + 3 + 5 + 6 = 21
• 7 + 2 + 4 + 8 = 21

réponse: le nombre à l’intersection doit être 7

Mercredi 22 Janvier

Les triangles ABC et et BCD sont semblables puisqu’ils ont deux angles égaux (et donc le troisième également). En effet ∠BAC = ∠CBD et ∠BCD = ∠CAB.

Ainsi, les côtés sont proportionnels:

\[\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{BC} = \frac{BC}{AC}\]

Comme D est le milieu de AC:

\[AC\times CD=\frac{1}{2}{AC}^2={BC}^2\implies{\left(\frac{BC}{AC}\right)}^2=\frac{1}{2}\implies\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\]

D’où:

\[\frac{BD}{AB}=\frac{x}{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\implies x=\frac{12}{\sqrt{2}}\]

De ce résultat, nous pouvons établir une construction à la règle et au compas des points C:

• Tracer le point O symétrique de A par rapport à B.
• Placer le point A’ tel que AA’ = AB = AO et AA’ ⟂ AB. Ainsi AA’ = AO = AB √ 2.
• Les points C sont sur le cercle de centre O et de rayon AA’.

réponse: x = 12 / √2 = 6 √2

Jeudi 23 Janvier

Il y a 36 lancers possibles.

Si un impair (2 possibilités) sort au premier lancer, il y aura 2 2 6 4 6 8. Donc 2 × 2 = 4 possibilités.

Si un pair (4 possibilités) sort au premier lancer, il y aura 1 1 3 2 3 4. Donc 4 × 1 = 4 possibilités.

8 / 36 = 2 / 9

réponse: 2 / 9

Vendredi 24 Janvier

réponse: -1, 1, 3, 5, 10

Lundi 27 Janvier

Chaque côté du triangle équilatéral coupe le rayon perpendiculaire en son milieu.

Donc diamètre de L = 1 / 2 rayon de K.

réponse: 4

Mardi 28 Janvier

(difficile à dessiner…)

réponse: 6

Mercredi 29 Janvier

Il faut 2 × 30 + 4 × 20 + 6 × 10 = 200 cm

réponse: 2 m

Jeudi 30 Janvier

E A B B B D F A A A B C C C

avec A B C = coups à 3 € et E F = coups à 1 €.

réponse: 11 €

Vendredi 31 Janvier

Hormis le fait qu’on va additionner 5 tranches de 1000 (celles qui commencent 1, 3, 5, 7, 9) au lieu de 4 pour les chiffres impairs, on peut constater que la sommes des chiffres impairs est 25 contre 20 pour les chiffres pairs.

Programme Python.

#!/usr/bin/env python3

somme_pair = 0
somme_impair = 0
for n in range(0, 10000):
    pair = True
    impair = True
    i = n
    for _ in range(4):
        i, r = divmod(i, 10)
        pair = pair and ((r % 2) == 0)
        impair = impair and ((r % 2) == 1)
    if pair:
        somme_pair += n
    if impair:
        somme_impair += n

print(somme_pair, somme_impair)

print(somme_impair - somme_pair)

réponse: impair